Rank Theorm

The number of independent columns equals the number of independent rows.

$A=CR$ 에대해, C를 A에서 Linear independent한 column들의 집합이라 할 때,
C와 R의 각각의 Rank는 동일하게 된다.

$C$는 Linear independent한 column들의 집합이므로, A의 Column Space의 Basis가 된다.

Columb base multiplication of $A\vec{x}=b$

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A의 각각의 Column에 대하여 $a_n$이라 하자.

$a_n$ 들의 집합을 $Col(A)=\mathbf{C}(A)$인, Column Space: C로 나타낸다.

모든 columns의 조합은 Column Space의 Element를 표현 가능하다.

Solvable

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when $b=(b_1,b_2,b_3)\in Col(A)$, $A\vec{x}=b$는 해를 가진다. (이 때, $b$는 Column.)

$A\vec{x}=(0,0,0)$ 라면, 하나의 해 $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$ 만을 가진다.

Linear independent

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$a_3$이, $a_2,a_1$의 조합으로 표현될 수 있다면, $a_3$은 Linear independent 하지 않다.
즉, $a_3$이 A에 추가되어도, Column Space는 동일하다.

이는 곧, Rank의 변화가 없음을 의미한다.
이렇게, Linear independent한 column들을 모아 만든 $C$에 대해, $C=A$라면, Invertible하다. 즉, R이 Indentity Matrix임을 의미한다.
R은 Row-reduced echelon form(사다리꼴 행렬) of A이다.

$C$의 Rank는 곧 $A$의 Rank와 동일하게 되며, 이에 따라 $A=CR$에 대하여 Column Rank = Row Rank임을 의미하게 된다.

Rank

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서로 Linear independent한 Column의 최대 개수가 된다.

따라서, 이에 따라 Column Rank = Row Rank 이 성립한다.